Zenón de Elea
Zenón de Elea (Elea, fl. siglo V a.C.), matemático y filósofo de
la escuela eleática, conocido por sus paradojas filosóficas. Fue el discípulo
predilecto de Parménides a quien acompañó a Atenas cuando tenía 40 años. Allí
enseñó filosofía, concentrándose en el sistema eleático de metafísica. Se
conserva muy poca parte de su obra, pero las obras de Platón y Aristóteles se
nutren de referencias a los escritos de Zenón. En el plano filosófico, Zenón
aceptaba la creencia de Parménides de que el universo, o el ser, es una
sustancia indiferenciada, simple, única, aunque pueda parecer diversificada
para los sentidos.
La intención de Zenón fue desacreditar las sensaciones,
lo que pretendió hacer a través de una brillante serie de argumentos o paradojas,
sobre el espacio y el tiempo que han perdurado hasta nuestros días como
mosaicos intelectuales complejos. Una paradoja clásica afirma que un corredor
no puede llegar a la meta porque, para lograrlo, debe recorrer una distancia;
pero no puede recorrer esa distancia sin primero recorrer la mitad de ella, y
así ad infinitum.
Porque existe un número infinito de bisecciones en una
distancia espacial, uno no puede recorrer una distancia en tiempo finito, a
menos que acorte la distancia o aumente la velocidad. Este argumento, como
muchos otros de Zenón, se proponía demostrar la imposibilidad lógica del
movimiento. Dado que los sentidos nos llevan a creer en la existencia del
movimiento, los sentidos son ilusorios y por lo tanto no existe ningún obstáculo
para aceptar las inverosímiles teorías de Parménides de otra forma.
Zenón es reconocido no sólo por sus paradojas, sino por
establecer los debates filosóficos que favorecen la discusión razonada. Por
todo ello, Aristóteles le consideró el creador del razonamiento dialéctico.
Isaac Newton
° Newton (hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz (hacia 1670),
en Alemania comparten el crédito por el desarrollo del cálculo integral y
diferencial.
°Newton y Leibniz demostraron que los problemas
del área y la tangente son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental
del cálculo.
NEWTON en 1664, descubrió los elementos del cálculo
diferencial, que llamaba fluxiones. Años más tarde, cuando se publicaron sus
hallazgos, hubo cierta duda acerca de si el matemático alemán Leibniz era
considerado el creador del cálculo diferencial. Al parecer ambos, independiente
y casi simultáneamente, hicieron este notable descubrimiento.
Generalizó los métodos que se habían utilizado
para trazar líneas tangentes a curvas y para calcular el área encerrada bajo
una curva, y descubrió que los dos procedimientos eran operaciones inversas.
Uniéndolos en lo que él llamó el método de las fluxiones, Newton desarrolló en
el otoño de 1666 lo que se conoce hoy como cálculo, un método nuevo y poderoso
que situó a las matemáticas modernas por encima del nivel de la geometría
griega.
En 1711, publicó diversos libros relacionados al
Cálculo como analysi per aequationes numero terminorum infinitas. También, esta
relación entre series y cálculo se manifiesta en Methodus fluxionum et serierum
infinitorum (escrito en 1671), y publicado en inglés en 1736 y en latín en
1742.
El único libro en que Newton mostró su cálculo y
publicó rápidamente fue Philosophiae naturalis principia matemática (1687).
Gottfried Wilhelm Leibniz
Las contribuciones de Leibniz en el campo del cálculo
infinitesimal, efectuadas con independencia de los trabajos de Newton, así como
en el ámbito del análisis combinatorio, fueron de enorme valor. Introdujo la
notación actualmente utilizada en el cálculo diferencial e integral. Los
trabajos que inició en su juventud, la búsqueda de un lenguaje perfecto que
reformara toda la ciencia y permitiese convertir la lógica en un cálculo,
acabaron por desempeñar un papel decisivo en la fundación de la moderna lógica
simbólica.Frente a la física cartesiana de la extensión, Leibniz defendió una
física de la energía, ya que ésta es la que hace posible el movimiento. Los
elementos últimos que componen la realidad son las mónadas, puntos inextensos
de naturaleza espiritual, con capacidad de percepción y actividad, que, aun
siendo simples, poseen múltiples atributos; cada una de ellas recibe su
principio activo y cognoscitivo de Dios, quien en el acto de la creación
estableció una armonía entre todas las mónadas. Esta armonía preestablecida se
manifiesta en la relación causal entre fenómenos, así como en la concordancia
entre el pensamiento racional y las leyes que rigen la naturaleza.
Las contribuciones de Leibniz en el campo del
cálculo infinitesimal, efectuadas con independencia de los trabajos de Newton,
así como en el ámbito del análisis combinatorio, fueron de enorme valor.
Introdujo la notación actualmente utilizada en el cálculo diferencial e
integral. Los trabajos que inició en su juventud, la búsqueda de un lenguaje
perfecto que reformara toda la ciencia y permitiese convertir la lógica en un
cálculo, acabaron por desempeñar un papel decisivo en la fundación de la
moderna lógica simbólica.
Pierre de Fermat
Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto
de 1601;1 Castres, Francia, 12 de enero de 1665) fue un jurista y matemático
francés apodado por Eric Temple Bell con el sobrenombre de «príncipe de los
aficionados».2 Descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue
cofundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal e
independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la
geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la
teoría de números en especial por el conocido como último teorema de Fermat,
que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue
demostrado en 1995 por Andrew Wiles ayudado por Richard Taylor. Fermat es uno
de los pocos matemáticos que cuentan con un asteroide con su nombre, (12007)
Fermat. El teorema sobre la suma de dos cuadrados afirma que todo número primo
p, tal que p-1 es divisible entre 4, se puede escribir como suma de dos
cuadrados. El 2 también se incluye, ya que 12+12=2. Fermat anunció su teorema
en una carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre de 1640, razón por la
cual se le conoce también como Teorema de navidad de Fermat El pequeño teorema
de Fermat, referente a la divisibilidad de números, afirma que, si se eleva un
número a a la pésima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es
divisible por p, siendo p un número primo. Su interés principal está en su
aplicación al problema de la primalidad y en criptografía. Pequeño teorema de
Fermat, se convirtió en uno de los teoremas más importantes en Matemáticas. No
se sabe si Fermat halló realmente la demostración, ya que no dejó rastro de
ella para que otros matemáticos pudiesen verificarla.
Leonhard
Euler
Hermanos Bernoulli
Johann Bernoulli (1667 - 1748) fue un eminente
matemático, médico y filólogo suizo. Destacó en cálculo infinitesimal, el
cálculo diferencial y la geometría. Su descendencia formó una reconocida
generación de científicos (hermanos, hijos y nietos) en Europa que destacaron
en las ciencias, principalmente e las matemáticas.
Su hermano Jacob (Jakob) Bernoulli (1654
- 1705) también fue un matemático prominente; cuyas aportaciones históricas
incluyen la ecuación diferencial de Bernoulli, los polinomios de Bernoulli, el
ensayo de Bernoulli, la ley de los grandes números, la lemniscata, etc...
Los Bernoulli eran cristianos de
denominación calvinista. El abuelo Bernoulli, Nikolaus, había huido de Bélgica
para evitar la persecución religiosa de la época.
Johann llegaría a ser
conocido como "el Arquímides del siglo XVII", debido a su gran
influencia científica en Europa, en donde por mucho tiempo fue considerado el
mejor matemático.
Entre sus aportaciones
se incluyen la solución catenaria, estudios del desarrollo del cálculo
infinitesimal, y la regla de Bernoulli.
Joseph Louis Lagrange
Lagrange
fue uno de los científicos matemáticos y físicos más importantes de finales del
siglo 18. Inventó y maduró el cálculo de variaciones y más tarde lo aplicó a
una nueva disciplina la Mecánica Celestial, sobre todo al hallazgo de mejores
soluciones al Problema de tres cuerpos. También contribuyó significativamente
con la solución numérica y algebraica de ecuaciones y con la teoría numérica.
En su clásica Mecanique analytique (mecánicas Analíticas, 1788), transformó la
mecánicas en una rama del análisis matemático.
Principales
aportes a la matemática
- Teorema del valor medio de Lagrange.
- Fue el padre y creador del cálculo de variaciones.
- Multiplicadores de Lagrange.
- Polinomio de Lagrange.
- Encontró la solución completa del problema de una cuerda que vibra transversalmente.
- Creó la idea de ecuaciones generalizadas de movimiento, ecuaciones que demostró formalmente.
- Descubrió los llamados puntos de Lagrange (astronomía).
- Teoría del movimiento planetario.
- Teoría de eliminación de parámetros.
- Solución completa de una ecuación binomial de cualquier grado.
- Contribuyó al cálculo de diferencias finitas con la formula de interpolación de Lagrange.
- Aportes a la Teoría de Números y la resolución de ecuaciones algebraicas, que sentaron las bases para la teoría de grupos.
D’Alembert
D’Alembert creció en París. en el
año 1741 fue admitido en la Academia de Ciencias de París, donde trabajó por el
resto de su vida. Fue amigo de Voltaire.
Ayudó
a resolver la controversia en física sobre la conservación de la energía
cinética mejorando la definición de Newton de la fuerza en su "Tratado de
Dinámica" (1742), que articula el principio de mecánica de D’Alembert. En
el año 1744 aplicó los resultados obtenidos en el equilibrio y movimientos de
fluidos.
Fue
pionero en el estudio de ecuaciones diferenciales y pionero en el uso de ellas
en la física.
Fue
uno de los primeros en comprender la importancia de las funciones y en este
artículo definió la derivada de una función como el límite de los cuocientes de
los incrementos. En realidad escribió la mayor parte de los artículos
matemáticos en su trabajo, volumen 28.
D’Alembert
fue el que más se acercó a una definición precisa de límite y de derivada. Más
en realidad toda duda se desvanecía ante el éxito de sus aplicaciones, de
manera que el cálculo infinitesimal, más que una rama de la matemática, se
convertía en una especie de doncella de la ciencia natural, en un auxiliar muy
valioso, pero auxiliar al fin de las varias ramas de la física.
D’Alembert
también estudió hidrodinámica, mecánica de los cuerpos, problemas de Astronomía
y circulación atmosférica.
D’Alembert
rechazó un gran número de ofertas en su vida. Rechazó una oferta de Frederick
II para ir a Prusia como presidente de la Academia de Berlín. También rechazó una invitación de Catherine II
para ir a Rusia como tutor de su hijo.
Augustin Louis Cauchy
Augustin
Louis Cauchy: Sus Principales aportaciones en el calculo fueron en el calculo
Infinitesimal donde unas apropiadas definiciones de función, continuidad y
sobre todo de limite lepermitían asentar en unas bases mas aritméticas de
geométricas y mas firmes que las de sus antecesores. Un infinitésimo, lo que
hasta entonces se consideraba un número constante infinitamente
pequeño,pasaverse como una variable.
Es considerado uno de los
impulsores del análisis en el siglo XIX. Nació en París y estudió en la Escuela
Politécnica de esta ciudad. Fue profesor simultáneamente en el Colegio de
Francia, en la Escuela Politécnica y en la Universidad de París.
En 1848 fue nombrado profesor de
astronomía matemática de esa universidad.
Cauchy verificó la existencia de
funciones elípticas recurrentes, dio el primer impulso a la teoría general de
funciones y sentó las bases para el tratamiento moderno de la convergencia de
series infinitas. También perfeccionó el método de integración de las
ecuaciones diferenciales de primer grado (véase Cálculo). En el campo de la
física se interesó por la propagación de la luz y la teoría de la elasticidad.
Bernhard Riemann
Estudió física con Weber y
matemática con Gauss. Gauss, el maestro, que no tenía hábitos de elogiar a otros
matemáticos, habló de "la mente creativa, activa, en verdad matemática y
la gloriosamente fértil originalidad" de Riemann. En 1851 recibió su grado
de doctor en filosofía en la universidad de Góttingen. Allí se quedó para
dedicarse a la docencia dado que continuó con la cátedra de Gauss que fue
ocupada por Dirichlet en el año 1855 y luego por él. Sus escritos de 1854
llegaron a ser un clásico en matemática. En 1862, año un después de su
matrimonio, sufrió un ataque de pleuritis y durante el resto de su vida fue un
hombre agobiado por esta enfermedad para morir de tuberculosis a los 39 años de
edad.
Los ricos y amplios conceptos de
Riemann del espacio y de la geometría tuvieron profundos efectos en el
desarrollo de la teoría física moderna y brindaron los conocimientos y métodos
usados cincuenta años más tarde como apoyo concreto para la teoría general de
la relatividad desarrollada por Einstein.
Además de su trabajo en geometría,
hizo contribuciones básicas a la teoría de las funciones de una variable
compleja, a la física matemática y a la teoría de números. Clarificó la noción
de Integral, definiendo lo que ahora llamamos Integral de Riemann. Él fue quien
permitió calcular las integrales a partir de la definición como un límite de
sumas. Su muerte prematura determinó una gran pérdida para el mundo matemático
porque su trabajo fue brillante y de importancia capital. Pensador y generador
de métodos, teoremas y conceptos que llevan su nombre.
Calculo
El cálculo diferencial es
una parte del análisis
matemático que
consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables
cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial
de una función.
El
estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo
diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es
infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño
como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el
concepto básico del límite. El paso al límite es la principal
herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que
lo diferencia claramente del álgebra.
Desde
el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en
un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una
función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra,
en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el
cálculo de las pendientes instantáneas de 
en cada punto 
. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente
por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de
crecimiento, sus máximos y mínimos.
en cada punto . Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente
por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de
crecimiento, sus máximos y mínimos.
Limite
En matemática, el
concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva
de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida
que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.
En cálculo infinitesimal
(especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para
definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación,
integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente
relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase
de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente
la noción de límite.
El concepto se puede generalizar a
otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma
manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser
la teoría de categorías.
Para fórmulas, el límite se
utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se
representa mediante la flecha (→) como en an → a.
